Matematik Tarihi · 9 Ağustos 2026 · 11 dk

2000 Yıllık Bir 'Hiç İçime Sinmedi' Hikayesi

Matematikçiler bazen doğruluğundan hiç şüphe etmedikleri şeylerden de rahatsız olurlar. Öklid’in beşinci beliti bunun en güzel örneklerinden biri...

Bundan yıllar yıllar önce, Öklid, geometrinin temellerini beş tane belitle yani "ispatlanmayan temel varsayım"la atmıştı. Bu belitlerden ilk dördü matematikçiler tarafından tartışmasız kabul edildi. Bunlar öylesine doğal görünüyordu ki kimse dönüp ikinci kez bakma gereği duymadı.

Beşinci belit ise farklıydı. Diğerlerine göre daha uzun, daha karmaşık ve nedense belit olmak için daha az "temel" hissi veriyordu. Fakat yine de bütün geometri tıkır tıkır çalışıyordu. Üçgenlerin iç açıları hala 180 derece ediyordu, daireler daire gibi davranıyordu, mimarlar köprü yapabiliyordu. Ortada bir sorun yoktu. Sadece... beşinci belitin orada bulunması bazı matematikçileri rahatsız ediyordu.

Yüzyıllar boyunca matematikçiler beşinci belitin diğer geometrik kabullerden çıkarılabileceğini göstermeye çalıştılar. Eğer bunu kanıtlayabilirlerse her şey yoluna girecekti. Geometride hiçbir şey değişmeyecekti ama rahat bir nefes alacaklardı. Tek değişiklik ise Öklid'in iki bin yıl boyunca çantasında fazladan bir belit taşıdığının anlaşılması olacaktı.

Ne var ki beşinci belitin başka planları vardı...

Öklid, matematikçilerin başına küçük ama oldukça uzun ömürlü bir dert açmıştı. Yaklaşık iki bin yıl sonra birileri oldukça tehlikeli bir şey yaptı.

Beşinci beliti ispatlamaya çalışmayı bıraktılar.

Sadece soruyu değiştirdiler. Artık soru "Beşinci belit ilk dördünden nasıl çıkar?" değildi.

Soru şuydu:

"Ya çıkmıyorsa?"

Ve matematik tarihi, şaşırtıcı derecede sık olduğu gibi, tam da bu noktada ilginçleşti.

Geometrinin Kullanma Kılavuzu

Öklid, milattan önce 300 yıllarında yaşamış, İskenderiyeli, Yunan bir matematikçiydi. Hayatıyla ilgili detaylı bilgiler yüzyıllar boyunca kozmik karanlığın derinliklerinde kaybolduğundan bugün kendisiyle ilgili sadece İskenderiye Kütüphanesi'nde matematik dersleri verdiğini biliyoruz.

Bir de geometrinin babası olduğunu...

Elbette bu unvan, bütçe kısıntısına giden İskenderiye Müzesi yönetiminin zam yerine verdiği bir "performans ödülü" değildi. Öklid bu unvanı geometriyi genelgeçer bir belitsel sisteme oturtarak bileğinin hakkıyla almıştı.

Günümüzde matematiksel bir ispat yapmak için elinizde eser miktarda üç adet malzeme olması gerekir. Bunlar:

1. Tanımlı ve tanımsız yapılar: nokta, doğru vs gibi sistemi başlatmak için gerekli tanımsız öğeler ile bunlardan türetilen üçgen, daire gibi tanımlı öğeler.
2. Belit: tanımlı ve tanımsız öğelerin birbirleri ile kurdukları ilişkilerin ön kabulü. "Bir doğrunun üstünde en az iki nokta vardır" gibi.
3. Önerme: İspatlamaya çalıştığınız iddia.

Öklid'den önce de Yunan matematikçiler ispatlar yapıyorlardı. Fakat bu ispatlar bağımsız ve dağınıktı; herkesin üzerinde uzlaştığı ortak bir tanım ve belit listesi yoktu. Öklid'in asıl başarısı, bu kabulleri ilk kez açıkça yazıp derleyerek geometriyi derli toplu bir sistem haline getirmek oldu.

Bu çalışmasını da papirüslere muhtemelen kamıştan kalemlerle yazdığı "Elemanlar" isimli kitabında yayınladı.

Öklid zamanında geometri, doğayla ve felsefeyle iç içeydi. Belki de Platon'un da etkisiyle, matematikçiler geometrik şekilleri doğadaki objelerin "İdealar Dünyası"ndaki karşılığı olarak görüyorlardı. Bir taş yuvarlaktır ama sağı solu yamuktur, pürüzlüdür. Yine de onu papirüse dökmek istesek, içimizde bastırılmış bir ressam yoksa yapacağımız şey basitçe bir çember çizmek olur. İşte Öklid için nokta veya doğru, üzerinde anlaşılması gereken yapay kurallar değil, zihnen zaten var olan bu "ideal" nesnelerin tarifleriydi. Bu yüzden onları tanımsız bırakmak yerine, kitabının en başında sezgisel olarak ne olduklarını tanımlamaya çalıştı. Örneğin bir noktayı: "büyüklüğü olmayan" diye tanımladı.

Daha sonra işte bu yazının yazılmasına neden olan o ünlü beş belitini sıraladı. Bunlar şu şekildeydi:

1. Herhangi bir noktadan başka herhangi bir noktaya bir doğru çizilebilir.
2. Bir doğru istenildiği kadar yine bir doğru olacak şekilde uzatılabilir.
3. Herhangi bir merkez ve bir uzunluk verildiğinde bir çember çizilebilir.
4. Bütün dik açılar birbirine eşittir.
5. Eğer bir doğru iki doğruyu kestiğinde bu doğrunun aynı tarafındaki iç açılar iki dik açıdan küçükse bu iki doğru o yönde uzatıldıklarında kesişir.

Bu belitlerin ilk dördü neredeyse yayınlandıkları andan itibaren hiçbir muhalefetle karşılaşmadı. O zamanlar papirüs pahalı olduğu için muhtemelen balmumu tabletler ya da kum tepsilerinde bu belitlerin zihindeki o ideal geometriye ne kadar doğal bir şekilde oturduğunu hemen görebiliyorlardı.

Beşinci belit ise daha farklıydı. Bir kere, sanki daha basit varsayımlar bir araya getirilerek kurgulanmış bir teorem gibi duruyordu. Üç doğru olacak; biri diğer ikisini kesecek; aynı taraftaki iç açıların toplamı 180 dereceden küçük olacak ve biz bu doğruları uzatacağız... Üstelik açılar iki dik açıya çok yakın ama birazcık küçükse, işin içine neredeyse sonsuzlukta kesişen doğrular giriyordu. Haliyle bir kum tepsisine sonsuz uzunlukta bir doğru çizemezsiniz. Dolayısıyla bu belit diğerlerine nazaran biraz daha az "doğal" hissettiriyordu.

Öklid'in de bu belitten rahatsız olduğuna ilişkin tahminler, bunu kullanmayı kitabının ilerleyen kısımlarına kadar erteleyip, ilk 28 önermeyi ona hiç başvurmadan ispatlamasına dayandırılıyor.

Belitin kendisinin doğruluğundan şüphe eden yoktu. Geometride herhangi bir çelişki yoktu çünkü. Sezgisel olarak da son derece doğruydu. O zaman bu olsa olsa diğer dört belit kullanılarak ispatlanması gereken bir teoremdi.

Beşinci beliti diğer dördünü kullanarak kanıtlama, ya da hiç değilse daha basit bir şekilde ifade etme çabaları yüzyıllar boyunca devam etti.

Asırlık bir Takıntı

Beşinci beliti ispatlama maratonunun ilk yarışçısı, Öklid’den dört asır sonra sahneye çıkan Batlamyus’tu. Ancak yaptığı "ispat" matematik dünyasında pek heyecan yaratmadı. Çünkü Batlamyus, önce beliti kılık değiştirmiş başka bir formda kabul etmiş, ardından bu kabulü evirip çevirip belitin kendisine ulaşarak kendi etrafında dönen bir mantık çemberi yaratmıştı.

Batlamyus'un (2. yy) ardından Proclus (5. yy), onun ardından el Cevheri (9. yy), onların ardından İbnü'l-Heysem (10. yy) ve başka bir çok matematikçi hep aynı hataya düştüler.

Ömer Hayyam (11. yy) belki de şarabın ve bağımsız zihninin verdiği cesaretle konuyu bambaşka bir boyuta taşıdı. Çözüme teğet geçse de son darbeyi indiremedi. Nasirüddin Tusi (13. yy) ise oyunu bir kez daha tersine çevirdi: 5. beliti ispatlamaya çalışmak yerine onun yanlış olduğunu varsaydı ve mantıksal bir çelişki yakalamaya çalıştı.

Tusi'nin çalışmalarının Batı'ya ulaşmasıyla kervana Avrupalılar da katıldı. John Wallis (17. yy) çözümü bulduğunu iddia etti ama fark etmediği şey, yine aynı mantık çemberi tuzağına düştüğüydü.

Beşinci belitin daha yalın ve ona denk başka bir ifadesi ise sonradan John Playfair’in adıyla anılacaktı: "Bir doğruya, dışındaki bir noktadan sadece tek bir paralel doğru çizilebilir. (Playfair Aksiyomu)"

İşte 5. belitin bugünkü okullarda öğretilen bu yalın ve denk ifadesi, İtalyan Cizvit rahibi Giovanni Girolamo Saccheri’nin (18. yy) elinde muazzam bir silaha dönüştü. 1733'te iddialı bir kitap yazdı: "Öklid Her Türlü Hatadan Aklandı."

Saccheri, masaya üç farklı senaryo koydu:

• Senaryo A: Bir doğrunun dışındaki bir noktadan bu doğruya tam bir paralel geçer. (Geleneksel Öklid dünyası)
• Senaryo B: Bir doğrunun dışındaki bir noktadan bu doğruya hiç paralel geçmez.
• Senaryo C: Bir doğrunun dışındaki bir noktadan bu doğruya birden fazla paralel geçer.

Amacı B ve C senaryolarının ne kadar saçma olduğunu gösterip A’yı (yani Öklid'i) tek seçenek bırakmaktı. Senaryo B çabuk pes etti. Fakat Senaryo C’ye geldiğinde işler çığırından çıktı. Saccheri, birden fazla paralelin bulunduğu bu tuhaf dünyada sayfalarca teorem türetti. Sonuçlar alışılmış geometriye hiç benzemiyordu ama kendi içlerinde şaşırtıcı biçimde tutarlıydı. Saccheri bir çelişki arıyordu; karşısına ise yeni bir geometrinin ilk izleri çıkıyordu.

Ne var ki Saccheri’nin amacı yeni bir geometri kurmak değil, Öklid’in beşinci belitinin vazgeçilmez olduğunu göstermekti. Bu yüzden elde ettiği garip sonuçları keşif olarak değil, yanlış varsayımın giderek saçmalaştığının işaretleri olarak yorumladı. Saccheri yeni bir geometrinin kapısını bulmuştu. Fakat kapıyı açıp içeride yeni bir oda görmek yerine, kapının aslında bir duvar olduğunu kanıtlamaya çalışıyordu.

Geometrinin Ayarlarıyla Oynamak

Saccheri'nin ölümünden Gauss’un sahneye çıktığı 1800’lerin başına kadar matematik dünyasında sessiz ama devasa bir zihinsel devrim yaşanıyordu.

Geometrik şekillerin ve yüzeylerin incelenmesi artık yalnızca onları çizebilme yeteneğimize bağlı değildi. Geometrik ilişkiler denklemlerle de ifade ediliyor, çizimin yerini giderek soyutlama alıyordu. Geometri cebirselleşiyordu.

Belitlerin doğanın bize sunduğu tartışılmaz gerçekler mi, yoksa bir matematiksel sistemi başlatmak için seçtiğimiz kabuller mi olduğu sorusu da artık eskisi kadar kolay geçiştirilemiyordu. Belki bir beliti değiştirdiğimizde bütün sistem çökmek zorunda değildi... Belki yalnızca başka kurallarla çalışan başka bir geometri ortaya çıkıyordu...

İşte tam bu fırtınalı dönemde Gauss ortaya çıkıp tehlikeli sularda yüzmeye başladı. Beşinci belitin geçersiz olduğunu varsaydığında yepyeni bir geometri sistemi kurabileceğini düşünme cesareti gösterdi!

Ama söyleme cesaretini gösteremedi...

Gauss iddiasının ne kadar radikal olduğunun farkındaydı. Çünkü yüzyıllardır kabul edilen, Öklid geometrisinin içinde yaşadığımız evrenin tek gerçek geometrisi olduğuydu. Şimdi başka geometrilerin olabileceğini söylemek, üstelik bunu o dönem büyük bir otorite kabul edilen Immanuel Kant’ın Öklid geometrisini insanın uzay sezgisinin zorunlu ve a priori biçimi olarak gördüğü bir çağda yapmak, tepkileri üzerine çekmek demekti.

Dolayısıyla, tıpkı benim gibi tartışmaya girmeyi ve konforunu bozmayı hiç sevmeyen Gauss’un "Aman durduk yere tadımız kaçmasın" diyerek düşüncelerini sadece en yakınlarına fısıldamasını sonsuz bir empatiyle karşılıyorum.

Kimsenin Beklemediği Son

Ne var ki bir matematikçinin aklına gelen bir fikir, şartlar olgunlaştıkça diğerlerinin de aklına gelmeye başlıyordu.

Gauss düşüncelerini en yakınlarına fısıldarken, Avrupa’nın iki ayrı ucunda birbirinden habersiz iki matematikçi aynı tehlikeli sularda yüzmeye başlamıştı. Rusya’da Nikolay Lobaçevski, Macaristan’da János Bolyai beşinci belitin geçerli olmadığını varsayarak çok farklı bir evrenin kapısını açtılar.

Bu evrende bir doğrunun dışındaki bir noktadan sonsuz tane paralel doğru geçebiliyor, üçgenlerin iç açılarının toplamları 180 dereceden küçük çıkıyor hatta köşeleri sonsuzluğa doğru uzaklaştırılan bir üçgende bu toplam sıfıra istediğimiz kadar yaklaşabiliyordu.

Böyle bir evrende yaşamak, sonuçları bir kağıt üzerinde görmekten çok daha tuhaf olurdu.

Işığın da bu yeni geometrinin kurallarına uyduğu bir evrende yaşayan bir insan için derinlik algısı tamamen altüst olur, yanınızda tamamen normal görünen arkadaşınız birkaç adım uzaklaşınca sanki görünmez bir uçuruma düşüyormuş gibi küçülürdü. Düz bir koridorda ileri baktığınızda, koridorun sonu daralmak yerine devasa bir huni gibi dışa doğru açılırdı.

Bütün bunlar insanın aklını başından alabilirdi. Geometrinin ise umurunda bile değildi.

Hiperbolik geometri adı verilen bu tuhaf geometrinin henüz bir çelişki üretmemiş olması, daha sonra da bu kadar uslu davranacağı anlamına gelmiyordu tabii ki. Belki çelişki orada bir yerdeydi; yalnızca kimse ona ulaşacak kadar ilerlememişti.

Fakat Beltrami 1868 yılında hiperbolik geometrinin Öklid geometrisi içinde çalışan bir modelini kurdu. Bunun anlamı şuydu:

Eğer hiperbolik geometri bir çelişki içeriyorsa Öklid geometrisi de çelişkilidir.

Böylece beşinci beliti diğer kabulleri kullarak kanıtlama çabasının iki bin yıllık hikayesi burada sona erdi.

Ve Hikaye Devam Etti

Zamanında Saccheri masaya üç farklı senaryo koymuştu. Senaryo A ve C sırasıyla Öklid geometrisi ile hiperbolik geometriye karşılık geliyordu.

Peki ya Senaryo B? Verili bir doğrunun dışındaki noktadan hiç paralel geçmezse?

Saccheri senaryo B'yi kabul ettiğinde bunun çok çabuk bir çelişkiye götürdüğünü görüp bu ihtimali hızlıca elemişti. Fakat artık matematikçiler belitleri seçme konusunda görece özgür olduklarından ilk dört belitle oynamak konusunda da çekingen davranmıyorlardı.

Artık bambaşka yeni bir geometri bulunmuş, bu geometride doğruların sonsuza kaçmadığı, kapanıp başladıkları yere geri döndüğü görülmüştü. Her doğru çifti kesiştiği için paralel doğrulara da yer kalmıyordu. Üçgenlerin iç açıları toplamı daima 180 dereceden büyük oluyordu. Her açısı dik olan üçgenler gayet mümkündü.

Bu geometriye sahip bir evrende yaşamak ise bambaşka bir tür baş dönmesi yaratırdı. Dümdüz yürümeye devam ettiğinizde hiçbir duvara çarpmaz, fakat en sonunda başladığınız yere geri dönerdiniz. Işık da aynı geometrinin kurallarına uyuyorsa, önünüzde gördüğünüz uzak bir insan belki de karşınızda duran başka biri değil, uzayı dolaşıp gözlerinize yeniden ulaşan kendi arkanız olurdu. Gökyüzüne yeterince uzağa baktığınızda aynı yıldızı farklı yönlerde birkaç kez, hatta belki kendi geçmişinizi görebilirdiniz. Evrenin bir sonu yoktu; ama içinde kaybolabileceğiniz sonsuz bir uzaklık da yoktu.

İşte bu özelliklere sahip geometriye ise matematikçiler eliptik geometri dedi.

Eliptik geometriyi bir küre üzerinde modellemek için kürenin birbirine taban tabana zıt noktaları aynı nokta kabul edilir. Böylece kürenin büyük çemberleri eliptik doğrulara dönüşür ve her iki doğru tek bir noktada kesişir.

Gözlerinin Önündeki Geometri

Bu hikayeyi araştırırken benim aklıma beşinci belitin kendisinden daha fazla takılan başka bir soru geldi.

Eğri yüzeyler insanlık tarihi boyunca vardı. Neden tarih belitten geometriye şeklinde aktı da tam tersi olmadı? Bu eğri yüzeyleri incelerken farklı geometriler keşfedip bunu da Öklid'in 5. belitine bağlayamazlar mıydı?

Alternatif bir geometrinin örneği kelimenin tam anlamıyla ayaklarının altındaydı. Öyleyse neden onu görmeleri iki bin yıl sürdü?

Bütün bu soruları sorduktan sonra şunun farkına vardım ki ben geçmişe günümüzün gözlüğüyle bakıyordum.

Klasik matematikçiler küreyi, kendisini çevreleyen Öklidçi uzayın bir parçası olarak inceliyorlardı. Onlara göre eğri olan uzayın kendisi değil, onun içinde duran küreydi. Asıl zor olan küreyi bilmek değildi. Bir uzayın da tıpkı kürenin yüzeyi gibi kendi başına eğri olabileceğini düşünmekti.

Belki de bazı fikirlerin keşfedilmesi için gözümüzün önünde olmaları yetmiyor. Miras aldığımız doğruları da sorgulamamız gerekiyor.

Matematikçiler iki bin yıl boyunca beşinci beliti kanıtlayamadılar. Fakat bu başarısızlık boşa gitmedi. Her hatalı ispat, her sonuçsuz deneme ve her “hiç içime sinmedi”, sonunda soruyu biraz daha değiştirdi.

Ta ki birileri “Bunu nasıl kanıtlarız?” diye sormayı bırakıp:

“Ya kanıtlanamıyorsa?”

diyene kadar.