Talihsiz '1' Kimlik Meselesi

Asal sayıların oluşturduğu kozmik kurulun karşısında tek mührüyle duran 1 sayısı

Matematik Tarihi · 12 Eylül 2026 · 7 dk

Talihsiz '1' Kimlik Meselesi

$1$ sayısı, asalların oluşturduğu asiller kulübüne katılmak için oldukça güçlü bir aday gibi görünüyordu. Ne var ki bütün ısrarlara rağmen bu kulüple ilişkisi, Türkiye’nin Avrupa Birliği’yle ilişkisinden pek farklı değildi: Uzun zamandır kapının eşiğindeydi, fakat görüşmeler o eşiği geçemeden sona ermişti.

"1" Eksik Başlamak

Zaman makinemize atlayıp Antik Yunan medeniyetinden bir matematikçi kaçırsak ve ondan sırasıyla sayıları saymasını isteseydik büyük ihtimalle saymaya $2$ 'den başlardı. Eğer bu anlamsız (ve büyük ihtimalle yasa dışı) uğraşımızda şans eseri mistik bir Pisagorcu'ya denk gelmiş olsaydık $3$ 'ten başlardı.

Bu durumda en kolay açıklama Antik Yunan matematikçilerinin saymayı bilmediği olurdu. Halbuki sadece, $1$ 'i (ve bazen $2$ 'yi de) sayı olarak görmüyorlardı. Bunun nedeni "sayı" dendiğinde bizim aklımıza gelen ile onların aklındakinin tam da aynı olmamasıydı.

Antik Yunan matematikçileri $1$ 'i diğer sayıları ortaya çıkaran birim olarak görüyorlardı. Örneğin 3 sayısını 3 tane birim olarak algılıyorlardı ve zaten sayıları "ölçmek" için kullanılan birimin kendisini sayı olarak görmek gibi bir saçmalık (!) yapmıyorlardı. Sayılar günümüzde kabul ettiğimiz gibi bağımsız varlıklar değil, birimin çokluğuna bağlı olarak ortaya çıkan varlıklardı.

Öklid, Elemanlar kitabında sayının tanımı aşağıdaki şekilde veriyordu:

Birim, var olan her şeyin özellikleriyle kıyaslandığında kendisine bir denilendir.

Birimlerden oluşan niceliğe sayı denir.

Dönemin en popüler cemaatlerinden olan Pisagorcuların içinde bir grup ise işi biraz daha ileri götürüyorlardı. Onlar için sayılar yalnızca bir şeyleri saymaya yarayan araçlar değil, evrenin yapı taşlarıydı. Aynı zamanda geometrik ve felsefi anlamlar taşıyorlardı. $1$ birliği, bütünlüğü, aynılığı, aydınlığı temsil ederken $2$ karşıtlığın, farklılığın, karanlığın başlangıcıydı. $3$ 'e geldiğimizde ise ilk kez bir başlangıç, orta ve son; geometrik olarak da üç noktayla çevrelenebilen ilk düzlemsel şekil olan üçgen ortaya çıkıyordu. Bu nedenle bazı Pisagorcu geleneklerde $3$ ilk gerçek sayı olarak özel bir konuma sahipti.

Bu dönemde, sayıyı tanımlamakla yetinmeyen Öklid asal sayının tanımını da şöyle vermişti:

Asal sayı yalnızca birim tarafından ölçülen sayıdır.

Öklid asal sayı tanımında "bölme" yerine "ölçme" kavramını kullanmıştı. Bir sayının başka bir sayıyı ölçmesi, ölçen sayının belirli sayıda tekrarlanmasıyla ölçülen sayının kalansız biçimde oluşturulabilmesi demekti. Buna göre asal sayı sadece birim ile kalansız bölünebiliyordu.

Bu noktada dikkatli bir okuyucu, asal bir sayının kendisini ölçtüğü itirazında bulunabilir ki tamamen haklıdır. Öklid, bu tanımda bir sayının kendisini ölçmesinden açıkça bahsetmez ama Elemanlar’ın farklı bölümlerinde bir sayının kendisini ölçtüğünü söyler. Dolayısıyla ölçme burada yalnızca kendinden küçük sayılar için kullanılıyor olabilir. Aksi hâlde Öklid’in bu tanımı cuma günü iş çıkış saatinde yazdığını kabul etmemiz gerekecek.

Antik Yunan'da 1'in sayıların yapı taşı olan birim şeklinde düşünülmesi — Sayı değil, sayıların yapı taşı

Öklid bir asal sayının aşağıdaki kuralı sağlaması gerektiğini de ispatlamıştı.

Eğer $c$ bir asal ise ve $a \times b$ çarpımını bölüyorsa, $c$ sayısı çarpanlardan en az birini, $a$ 'yı veya $b$ 'yi, kalansız böler.

Örneğin $2$ , bir asal sayı olarak, $4 \times 3 = 12$ çarpımını böler ve aynı zamanda çarpanlardan biri olan $4$ ’ü de böler. Bu bir tesadüf değildir: $2$ , hangi iki tamsayının çarpımını bölerse bölsün, bu tamsayılardan en az birini de mutlaka böler.

Asal olmayan $6$ sayısı ise bu özelliğe sahip değildir. Bu sayı $4 \times 3 = 12$ çarpımını böldüğü hâlde çarpanların hiçbirini bölmez.

Asıl konumuza geri dönersek, en nihayetinde, Antik Yunan medeniyetinde $1$ 'in kendisinin asal olup olmadığı üzerine bir tartışma son derece anlamsızdı çünkü $1$ asal olmak için gereken en temel şartı, sayı olma şartını, bile sağlamıyordu. Asiller kulübünün kapısına yaklaşabilmesi için önce sınıf atlaması gerekiyordu.

Bu sınıf atlama hikayesi yüzyıllar sürecekti...

Aile Büyürken Yeni "1" Başlangıç

Yıllar geçiyordu, dünya değişiyordu ve bir matematikçi ölüp yenisi doğuyordu. Bu süreç içerisinde sayılar ailesinin nüfusu da genişlemeye devam ediyordu. Tamsayıların yanında kesirli ifadeler uzun zamandır biliniyordu. Rivayete göre Pisagorcular irrasyonel $2$ 'nin sırrını cemaatin dışına çıkaran müritlerden birini suda boğmuştu bile. 5. ve 7. yüzyıllar arasında Hintliler, $0$ ve negatif sayılar ile çalışmış; Brahmagupta, pozitif, negatif ve sıfırla işlem kurallarını vermişti. İslam dünyasının matematikçileri ise Hint sayı sistemini tüm dünyaya tanıtmıştı.

Bu kadar sayı yeterli gelmemişti belli ki, 16. yüzyıla geldiğimizde Cardano ve Bombelli üçüncü dereceden bazı denklemlerin köklerini bulabilmek için yaptıkları hesaplamalarda gizemli bir $- 1$ sayısının belirip çözümü verip kaybolduğunu gözlemlediler. 17. yy.da Descartes "gerçek" olarak görmediği bu gizemli sayıya biraz da aşağılama maksadıyla "hayali sayı" (nombre imaginaire) ismini koydu. Günümüzde liselerde karmaşık sayı olarak öğrendiğimiz bu sayıyı hala Descartes'ın isimlendirmesinden esinle $i$ olarak gösteriyoruz.

Sayı kavramı giderek geometrik bir çokluktan hesap yapılan nesne haline dönüşüyordu. Bu genişleyen aile içine $1$ 'in dahil olmaması da haliyle tartışma konusu haline gelmişti. $1$ 'i sınıf atlatacak en önemli matematikçi Simon Stevin, çalışmasını yayınladığında son derece kapsayıcı ve demokratik bir yaklaşımla hem $1$ 'i hem de diğer negatif, irrasyonel, köklü, kesirli vb. ifadeleri açıkça sayı olarak tanımlamıştı ve bunların diğer sayılardan herhangi bir farklarının olmadığını öne sürmüştü. Bu savını kabul ettirmekte de oldukça başarılı oldu.

$1$ sayısı artık rüştünü ispatlamıştı. Peki asal olabilecek miydi?

Asal Olmak ya da Olmamak

Öklid asal sayının tanımını verdiğinde $1$ 'in önündeki tek engel sayı olmamasıydı. Şimdi bu engel aşılmış $1$ asallığın eşiğine kadar gelmişti. Kağıt üstünde mükemmel bir adaydı.

Nitekim bazı matematikçiler $1$ 'i asal sayılar arasında gösterdi. Bazılarıysa Öklid'den kalan alışkanlığı sürdürerek asal sayıların listesini $2$ ile başlattı. Uzun süre boyunca ortada herkesin üzerinde anlaştığı bir kural yoktu. Bir kitapta asal, diğerinde değildi. Açık konuşmak gerekirse $1$ 'in asal olup olmaması matematikçilerin çok da umurunda değildi. Bir sayfada $1$ 'i asal kabul ederken diğer sayfada asalları $2$ 'den başlatan matematikçiler yok değildi. İki şekilde de hesaplarında ya da tanımlarında önemli bir değişiklik yapmıyordu.

Aritmetiğin Temel Teoremi

Gauss, 1801'de yayımladığı Disquisitiones Arithmeticae adlı eserinde asal çarpanlara ayırmanın bu temel rolünü sayı teorisinin merkezine yerleştirdi. Bugün aritmetiğin temel teoremi (ATT) dediğimiz sonuç, her $1$ 'den büyük tamsayının asal sayıların çarpımı olarak esasen tek bir şekilde (sıralama hariç) yazılabildiğini söyler. Örneğin tamamen rastgele seçtiğim $167258$ sayısı $167258 = 2 \times 7 \times 13 \times 919$ şeklinde yazılır.

Fakat $1$ asal kabul edilirse teoremdeki "tek bir şekilde" ifadesinin başı derde girer.

167258 = 2 \times 7 \times 13 \times 919 = 1 \times 2 \times 7 \times 13 \times 919 = 1 \times 1 \times 2 \times 7 \times 13 \times 919 = ⋮

Bu durumda en kolay çözüm Gauss'un teoremini biraz değiştirip " $1$ 'den farklı asal sayıların çarpımı" şeklinde yazmak veya teoremlerde $1$ 'in rolünü ATT'ye uygun olacak şekilde dikkatlice belirtmek olacaktır.

Bir çarpan dizisine tekrar tekrar eklenen 1 sayıları — Çarpıma durmadan eklenen 1'ler yeni bir bilgi taşımaz

Genelde $1$ sayısının neden asal olmadığına ilişkin bir açıklama olarak ATT gösterilir. Oysa görüldüğü üzere $1$ 'in asallığının yarattığı sorunları teoreme bir ufak koşul ekleyerek kolaylıkla bertaraf edebiliyoruz. Bu yüzden Gauss'u $1$ 'i ATT ile asallar kulübünden çıkarmakla suçlayamayız. Çünkü Gauss bunu ATT ile değil, Gauss tamsayılarını ortaya çıkararak ve ardından gelecek çok farklı sayı sistemlerinin kapısını aralayarak dolaylı yoldan yapacaktı...

Ayrı "1" Yeri Var

Gauss tamsayıları, $a$ ve $b$ tamsayı olmak üzere $a + bi$ şeklindeki sayılardır. Bu sayılar tanımlandıktan sonra ortaya çıkan sorunları tahmin edebilirsiniz. Bir tamsayı asalsa, örneğin $3$ , o zaman $3 + 3 i$ de asal mıdır? Peki $3 - 3 i$ asal mıdır? Ya $- 3$ , ona asal diyebilir miyiz?

Birçoğu arasında sadece tek bir örnek olan Gauss tamsayıları gibi yeni sayı sistemleriyle tanışılması, akabinde bu sistemlerde $1$ ’e benzeyen başka elemanların olduğunun keşfedilmesi asal sayıların artık daha modern bir şekilde tanımlanması ihtiyacını doğurmuştu.

Asallığın modern tanımını yapmadan önce matematikçiler bir sayı sisteminde bulunabilecek bazı elemanları şöyle tanımladılar:

Etkisiz eleman okullarda öğrendiğimiz şekliyle başka bir sayı ile işleme girdiğinde o sayıyı değiştirmeyen elemandır. Örneğin, $1$ ile hangi sayıyı çarparsanız çarpın o sayı değişmeyecektir. Bir sayı sisteminde belirli bir işlem için etkisiz eleman varsa sadece tek bir tane olabilir.
Birim etkisiz elemanı bölebilen sayılardır. Tamsayıların birimleri ${1, - 1}$ 'dir. Gauss tamsayılarını düşünürsek ve $i = - 1$ olduğunu hatırlarsak, bu sistemin birimleri ${1, i, - 1, - i}$ 'dir.

İşler karışıyor: Hesap kitap sevmeyen hikaye avcılarını "buraya" alalım.

Asal sayıların modern tanımını yapmak ise daha zahmetli oldu. Çünkü tamsayılarda daima birlikte görüldükleri için aynı sandığımız iki özellik, bazı yeni sayı sistemlerinde birbirinden ayrılıyordu.

Bunu daha açık anlatmak için örneğimizi adım adım kuralım:

$a$ ve $b$ birer tamsayı olmak üzere $Z [- 5] = {a + b - 5 ∣ a, b \in Z} = {a + b 5 i ∣ a, b \in Z}$ şeklinde bir sayı sistemi düşünelim.
Bu sayı sisteminin çarpmaya göre etkisiz elemanı $1$ 'dir.
Bu sayı sisteminin birimleri ${1, - 1}$ 'dir.
$2$ bu sistemin elemanıdır çünkü hem $2$ hem de $0$ tamsayıdır ve $2 = 2 - 05 i$ şeklinde yazabiliriz.
Öklid'in asal tanımından hareketle $2$ sadece birimler tarafından ölçülebildiği için asaldır.¹
Öklid'in asal sayılar için ispatladığı önerme de bu sistemde geçerliyse $2$ , böldüğü her çarpımın çarpanlarından en az birini bölmek zorundadır.
$6 = (1 + 5 i) (1 - 5 i)$ 'dir.
$2$ sayısı $6$ 'yı kalansız böler.
$2$ sayısı ne $(1 + 5 i)$ 'i ne de $(1 - 5 i)$ 'i kalansız böler.
Öklid'in asallar için olan teoremini sağlamadığı için $2$ asal değildir!

İşte tam burada $5$ ile $10$ . maddelerde kullandığımız iki asallık ölçütünün birbirinden ayrıldığını yakaladık. Bu ayrılığın nedeni Öklid'in tamsayılar üzerinde bütün asallar için ispatladığı teoreminin tamsayılar dışına çıktığımızda her zaman doğru olmamasıydı. Bu iki farklı özelliği ayırmak ve asallar için modern bir tanım yapmak ihtiyacı olduğu gün gibi ortadaydı.

6 sayısının iki farklı yoldan ayrışmasını gösteren matematik kulübü — İndirgenemez olmak ile asal olmak her sayı sisteminde aynı şey değildir

Asallar için kararlaştırılan yeni tanım aslında yabancı değildi. Öklid'in asal sayılar üzerine ispatladığı teoremin ta kendisiydi. Eski tanım ise "indirgenemez elemanlar"ın tanımı oldu. Yani:

Sıfırdan farklı ve birim olmayan herhangi bir $a$ elemanı, böldüğü her $b \times c$ çarpımında $b$ veya $c$ 'den en az birini de bölüyorsa asal olarak adlandırılır.

Sıfırdan farklı ve birim olmayan herhangi bir $a$ elemanı, $a = b \times c$ biçimindeki her ayrışımında $b$ veya $c$ 'den biri birimse indirgenemez olarak adlandırılır.

Bu noktada bölümün başında ortaya atıp sonra sessizce uzaklaştığımız sorulara geri dönebiliriz: Gauss tamsayıları içindeki $3 + 3 i$ , $3 - 3 i$ ve $- 3$ asal mıdır? Cevaplar dipnotta. Önce biraz düşünmek serbest; doğrudan bakmaksa Allah’ın emri.²

Sonuçta

Günümüzde kabul gören asal tanımına göre bir elemanın asal olmasının ilk gereği birim olmamasıdır. Bu şekilde $1$ 'in yüzyıllar süren hikayesi artık asallar kulübünün tüzüğündeki boşluğun $1$ 'in aleyhine kapatılmasıyla sona ermişti. Yine de $1$ eli boş gönderilmemiş, yol boyunca tanıştığı diğer birimlerle kendisine yeni bir kulüp kurulmuştu.

Görünenin Ardındaki Tarih

Açıkçası bu konuyu yazmaya ilk başladığımda $1$ 'in neden asal olmadığını anlatmak ne kadar zor olabilir ki diye başlamıştım. Oysa matematikte kabul edilen her doğrunun, ne kadar küçük olursa olsun, arkasında kabuller, yanılgılar, doğrular ve çelişkiler barındıran kocaman bir tarih olduğunu göz ardı etmişim. Bu yazıdan önce bir zamanlar 1'in sayı kabul edilmediğini bile bilmiyordum. Bugün neredeyse doğuştan biliyormuşuz gibi gelen bu bilgi, eski çağlardaki insanlar için hiç de bu kadar açık değildi. Antik dönem matematikçileri kendi düşünce dünyalarında gayet mantıklı bir sistem kurmuşlardı.

Bütün bu tarihsel gelişmeler insan aklının yüzyıllar boyunca gelişimini de gösteriyor. Kim bilir bundan iki bin yıl sonra hangi oturmuş inanış ve kabullerimiz sorgulanacak...

Dipnotlar

Norm, bir sayı sistemindeki bir elemanın büyüklüğünü sıradan bir tamsayıyla ifade etmemizi sağlayan bir tür ölçüdür.

$Z [- 5]$ sisteminde $x + y - 5$ sayısının normu

N (x + y - 5) = x^{2} + 5 y^{2}

şeklinde tanımlanır. Örneğin

N (2) = 4

N (1 + - 5) = 1^{2} + 5 \times 1^{2} = 6

olur.

Normu burada kullanışlı kılan asıl özellik, çarpma işlemini bozmamasıdır:

N (z \times w) = N (z) \times N (w)

Yani iki sayıyı çarpıp sonucunun normunu almakla, sayıların normlarını ayrı ayrı çarpmak aynı sonucu verir.

Şimdi $2$ sayısının iki birim olmayan elemanın çarpımı olduğunu varsayalım:

z \times w = 2

Norm aldığımızda

N (z) \times N (w) = N (2) = 4

elde ederiz. Bu sistemde birimlerin normu $1$ 'dir. $z$ ve $w$ 'nin birim olmadığını varsaydığımıza göre normları $1$ 'den büyük tamsayılar olmalıdır. Çarpımları $4$ olduğundan geriye yalnızca

N (z) = N (w) = 2

ihtimali kalır.

Fakat bu sistemde normu $2$ olan bir eleman yoktur. Çünkü bunun için

x^{2} + 5 y^{2} = 2

denkleminin bir tamsayı çözümü bulunması gerekirdi. Böyle bir çözüm olmadığı için $2$ , iki birim olmayan elemanın çarpımı olarak yazılamaz.

↩

Önce $3 + 3 i$ 'ye bakalım: $3 + 3 i = 3 \times (1 + i)$

$3 + 3 i$ , çarpımı doğal olarak böler. Fakat ne $3$ 'ü ne de $1 + i$ 'yi böler. Böylece bir çarpımı bölüp çarpanların hiçbirini bölmediği için asal değildir.

---

Aynı durum $3 - 3 i = 3 \times (1 - i)$ için de geçerlidir. Dolayısıyla bu da asal değildir.

---

$- 3$ ise biraz daha şanslıdır. Bunun için önce $3$ 'ün Gauss tamsayılarında asal olduğunu göstermemiz gerekiyor.

$z = a + bi$ ve $w = c + d i$ olmak üzere $3$ , $z \times w$ çarpımını bölsün. Yukarıda kullandığımız normun Gauss tamsayılarındaki karşılığı $N (a + bi) = a^{2} + b^{2}$ 'dir. Norm aldığımızda

N (z) N (w) = N (z w)

olur. $z w$ sayısı $3$ 'ün katı olduğundan $N (z w)$ de $9$ 'un katıdır. Bu durumda $N (z)$ veya $N (w)$ sayılarından en az biri $3$ 'e bölünmek zorundadır.

Diyelim ki

N (z) = a^{2} + b^{2}

sayısı $3$ 'e bölünüyor. Bir tam sayının karesi $3$ ile bölündüğünde yalnızca $0$ veya $1$ kalanını verebilir. Bu nedenle $a^{2} + b^{2}$ toplamının $3$ 'e bölünebilmesi için hem $a$ 'nın hem de $b$ 'nin $3$ 'e bölünmesi gerekir. Böylece $z = a + bi$ de $3$ 'e bölünür.

Aynı akıl yürütme $w$ için de geçerlidir. Yani $3$ bir çarpımı bölüyorsa çarpanlardan en az birini de böler. Bu nedenle Gauss tamsayılarında $3$ asaldır.

Son olarak

- 3 = (- 1) \times 3

ve $- 1$ birimdir. Bir asal sayıyı birimle çarpmak onun asallığını değiştirmez. Dolayısıyla $- 3$ asaldır. Aynı mantıkla $3$ 'ün diğer birim katları olan $3 i$ ve $- 3 i$ 'nin asallığına da hükmedebiliriz.

↩

Kaynakça

Öklid'in Elemanları - Ali Sinan Sertöz
Why 1 Isn't A Prime Number
Caldwell, Chris K. and Yeng Xiong. “What is the Smallest Prime.” arXiv: History and Overview (2012): n. pag.
Reddick, A., & Xiong, Y. (2012). The Search for One as a Prime Number: From Ancient Greece To Modern Times.
David Pierce, *Elementary Number Theory*, “Prime Numbers”, s. 51

Yorumlar

Söz sizde

Aklınıza takılan bir yer, eklemek istediğiniz bir not ya da başka bir bakış açısı varsa burada bırakabilirsiniz.

Gerekli alanlar

Yorum göndermek için ad ve e-posta alanları gerekli. E-posta adresiniz sitede görünmez.